Poisson Distribution

泊松分布的概率质量函数：
其中，(X) 是表示事件数量的随机变量，(k) 是非负整数，() 是平均发生率。
泊松分布的均值和方差：
(\text{E}(X) = \lambda)，(\text{Var}(X) = \lambda)

泊松分布的性质：

1. 概率质量函数（PMF）给出了随机变量取值为 (k) 的概率。
2. 泊松分布的均值和方差都等于平均发生率 (\lambda)。
3. 泊松分布具有无记忆性，即在一个固定时间间隔内观察到一定数量的事件的概率只取决于时间间隔的长度和平均发生率，而不依赖于之前事件的历史。

泊松分布的应用包括排队论、可靠性分析和保险风险评估等领域，用于建模罕见事件的发生。

从二项分布到泊松分布的推导可以通过极限过程实现。我们首先考虑一个二项分布，其中进行了次独立的伯努利试验，每次试验成功的概率为，失败的概率为。我们定义随机变量表示成功的次数，则服从二项分布。

现在，我们考虑当趋向于无穷大时，成功的概率趋向于0，但是期望值保持不变。我们将证明在这种极限情况下，二项分布趋近于泊松分布。

首先，我们考虑二项分布的概率质量函数：

我们将使用泰勒展开来近似计算二项式系数。根据二项式定理，我们有：

将和代入上述公式，我们可以得到：

由于，我们可以将上述公式简化为：

当趋向于无穷大时，右侧的求和项将趋向于1。因此，我们可以将二项分布的概率质量函数近似为：

其中，。这正是泊松分布的概率质量函数。因此，当趋向于无穷大时，二项分布趋近于泊松分布，其中。